与此同时，另一边。

华国，湘南大学的图书馆中，韩川正在翻阅着翻阅着安德烈亚斯·瓦伦西教授的论文。

虽然说这份研究成果站在他的角度来看还只是个半成品，但也足够发一篇四大级别的刊文了。

毕竟这可是对三角和估计领域的研究成果，是攻克哥德巴赫猜想最核心、最强大的数学工具之一。

从1934年维诺格拉多夫创造了估计外尔（weyl）三角和的新方法，极大地改进了经典华林问题的结果开始。

到1937年证明三素数定理，再到1940年华罗庚证明了高斯完整三角和的估计，到后续王元、潘承洞等人的突破.....

可以说，对三角和估计精度的每一次提升，都直接推动着哥德巴赫猜想的研究向前迈进。

所以即便是安德烈亚斯·瓦伦西教授的论文只是个半成品，也足够在这条道路上提供极大的研究价值了。

更关键的是，这位安德烈亚斯教授论文中的研究思路，和韩川发表的论文并不完全相同。

这就更为他后续解决弱·哥德巴赫猜想提供了另一条新的参考道路。

翻开打印出来的论文，韩川从第一页开始仔细阅读。

虽然说是扔在arxiv这种预印本网站上的论文，但这篇论文同样写的相当的标准。

尤其是引言部分，从维诺格拉多夫原始框架的建立，到哈代-李特尔伍德的改进，再到近几十年学界在误差项上所做的一系列微调尝试.....

整段引言把问题的来龙去脉梳理得极其清晰。

韩川一边读一边在边角画线标记，偶尔停下来在空白处写一行简短批注。

前面的正文部分他看得倒是挺快的，从框架结构从控制列的定义开始，然后进入三角和的耦合方式。

这部分和他自己的思路高度重合，理解起来没有任何的困难。

不过从边界层的处理开始，这位安德烈亚斯·瓦伦西教授的研究思路就变了。

他的研究是直接对边界层的解析进行了处理，以保障后续的稳定性。

而这位安德烈亚斯教授不同，在绕开边界层后，他转而进入了一个不同的方向。

“利用控制列的主干接入了一个基于傅里叶级数部分和的估计框架？”

看着论文中的研究思路，韩川眼眸中带着思索的神色。

从某个角度上来说，这种方法还是非常漂亮的。

尤其是在远离边界的区域上，推导简洁而清晰。甚至在某些区间上的精度接近他加权框架的简版版本。

不过要说缺点，那自然是对边界层的收敛速度会随着推进而近乎无限的扩大。

“有点意思。”

看着桌上的论文，韩川自言自语地念叨了一句。

伸手拿起笔，他在论文边角的空白区域画了一个简图。

图上是一条数轴，标注了优弧和劣弧的位置。

安德烈亚斯教授的控制列在远离边界的整个区间上都能正常工作，唯一失效的区域是边界层附近的那个极窄的区间段。

而他自己的加权框架在边界层上也能工作，只不过在远离边界的区间上，因为权重函数的存在，收敛速度会比瓦伦西的略慢一些。

盯着自己画的那个简图看了好一会儿，韩川脑子里浮现出一个念头。

“能不能将两种方法结合起来？”

毫无疑问，这两种方法各有各的的优缺点。

前者在边界层的收敛上有着局限性，而后者在全局区域上的收敛速度相对较低。

如果能够结合的话....

思索着，韩川用笔在简图的中间画了一条竖线，把两种方法的适用区间连在一起。

“如果能用一种数学工具将两者串联起来，既保留安德烈亚斯教授框架在常规区间上的速度优势，又补上了他绕过的边界层.....”

脑海中的定理和算式一条条的闪过，想着，他拿起笔在稿纸上快速写下了两种过渡函数的构造方案。

一种是标准的余弦过渡函数，从1平滑过渡到0，在拼接点处连续且一阶导数连续。

另一种是标准正态分布的累积分布函数。

短时间内，韩川能想到的就只有这两个函数了。

但就现在的情况来看，这两种方案似乎都存在着缺点。

第一种标准的余弦过渡函数会在拼接点处一阶导数不连续。

第二种虽然连续但会引入一个额外的参数，需要额外的约束条件来确定参数值。

想着，韩川拾起笔，从旁边拿了一张全新的稿纸，沉下心推导了起来。

正当他寻找着一种能够连接两条路线的方案时，书桌上的手机震动了起来，扰乱了他的思绪。

伸手摸过手机，电话是一个516开头的陌生号打过来的。

看到是陌生的来电，韩川想都没想直接就挂断了。

这也算是重生前养成的习惯了。

这种看着就像是骚扰电话或者诈骗电话的号码，他通常都懒得接。

不过让韩川没想到的是，这一次的骚扰电话似乎格外的顽强，在他挂断了一次后随即又打了过来。

“喂，哪位？”

皱着眉头接通了电话，韩川的语气有些不耐烦。

“韩川教授，您好，我是康奈尔大学数学系的马库斯·巴德尔，也是arxiv数学模块的主编。”

“非常抱歉冒昧打扰了您的研究，我通过您在arxiv注册时留下的联系方式找到了这个号码。”

听到这话，韩川愣了一下。

arxiv的主编？康奈尔大学的数学教授？

他把手机从耳边拿开看了一眼屏幕，那个陌生的516开头的号码确实是好像不是国内的。

看了一眼，他把手机重新贴回耳边。

“你好，我是韩川，有什么事吗？”

确认了对方是本人后，马库斯的声音也带上了十足的敬意和笑容。

“韩教授，我刚刚审阅了您提交到arxiv上的预印本，《a weighted l∞ control framework for error terms in trigonometric sum estimates》。”

“不得不说，这是一篇让人印象深刻的工作。”